Triple decomposition of velocity gradient tensor in homogeneous isotropic turbulence

R. Nagata, T. Watanabe, K. Nagata, C. B. da Silva
Triple decomposition of velocity gradient tensor in homogeneous isotropic turbulence
Computer & Fluids, 198 104389 2020

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This article may be found at https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2019.104389.

Abstract

The triple decomposition of a velocity gradient tensor is studied with direct numerical simulations of homogeneous isotropic turbulence, where the velocity gradient tensor $\nabla {\bd{u}}$ is decomposed into three components representing an irrotational straining motion $(\nabla\bd{u})_{\rm EL}$, a rigid-body rotation $(\nabla\bd{u})_{\rm RR}$, and a shearing motion  $(\nabla\bd{u})_{\rm SH}$. Strength of these motions can be quantified with the decomposed components. A procedure of the triple decomposition is proposed for three-dimensional flows, where the decomposition is applied in a basic reference frame identified by examining a finite number of reference frames obtained by three sequential rotational transformations of a Cartesian coordinate. Even though more than one basic reference frame may be available for the triple decomposition, the results of the decomposition depend little on the choice of basic reference frame. In homogeneous isotropic turbulence, regions with strong rigid-body rotations or straining motions are highly intermittent in space, while most flow regions exhibit moderately strong shearing motions in the absence of straining motions and rigid-body rotations. In the classical double decomposition, the velocity gradient tensor is decomposed into a rate-of-rotation tensor $\Omega_{ij}$ and a rate-of-strain tensor $S_{ij}$. Regions with large $\omega^2=2\Omega_{ij}\Omega_{ij}$ can be associated with rigid-body rotations and shearing motions while those with large $s^2=2S_{ij}S_{ij}$ can be associated with irrotational straining motions and shearing motions. Therefore, vortices with rigid-body rotations and shear layers in turbulence cannot be detected solely by thresholding $\omega$ or $s$ while they can be identified simply with $(\nabla\bd{u})_{\rm RR}$ and $(\nabla\bd{u})_{\rm SH}$ in the triple decomposition, respectively. The thickness of the shear layer detected in the triple decomposition is about 10 times of Kolmogorov scale, while the velocity parallel to the layer changes rapidly across the layer, in which the velocity difference across the shear layer is of the order of the root-mean-squared velocity fluctuation. 

日本語訳 (DeepL翻訳)

一様等方性乱流における速度勾配テンソルの三重分解

速度勾配テンソルの三成分分解について、一様等方性乱流の直接数値シミュレーションにより検討した。ここで、速度勾配テンソル$\nabla {\bd{u}}$は、伸長運動 , 剛体回転 , せん断運動に分解される。これらの運動の強さは、分解した成分で定量化できる。3次元流れに対して、直交座標を3回回転変換して得られる有限個の参照座標を調べて特定した基本参照座標で分解を適用する手順を提案した。三成分分解のために複数の基本参照座標が利用可能であっても、分解の結果は基本参照座標の選択にほとんど依存しない。一様等方性乱流では、剛体回転や伸長運動が強い領域は空間的に非常に間欠的だが、古典的な二成分分解では、速度勾配テンソルは回転速度テンソル$\Omega_{ij}$とひずみ速度テンソル $S_{ij}$に分解される。$\omega^2=2\Omega_{ij}\Omega_{ij}$ が大きい領域は剛体回転運動と剪断運動、$s^2=2S_{ij}S_{ij}$が大きい領域は伸長運動とせん断運動であることがわかる。したがって、乱流中の剛体回転を持つ渦とせん断層は、$\omega$や$s$を閾値処理するだけでは検出できず、それぞれ三成分分解で$( \nabla\bd{u})_{thearm RR}$, $(\nabla\bd{u})_{thearm SH}$と簡単に識別することができる。三成分分解で検出されたせん断層の厚さはKolmogorovスケールの約10倍であり、せん断層に平行な速度はせん断層を横切って急激に変化する。その速度差は速度変動rms値のオーダーであった。

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